Question

3．偶函數(shù)f（x）定義在（-1，0）∪（0，1）上，且$f（\frac{1}{2}）=0$，當(dāng)x＞0時(shí)，總有$（\frac{1}{x}-x）f'（x）•ln（1-{x^2}）＞2f（x）$，則不等式f（x）＜0的解集為（　　）

• A． {x|-1＜x＜1且x≠0}
• B． $\left\{x\right.|-1＜x＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x＜\left.1\right\}$
• C． $\left\{{x|-\frac{1}{2}}\right.＜x＜\frac{1}{2}$且x≠0}
• D． {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或$0＜x＜\left.{\frac{1}{2}}\right\}$

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)性，利用排除法進(jìn)行求解．

解答 解：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于縱軸對稱，所以不等式f（x）＜0的解集也應(yīng)是對稱的，所以D排除；
當(dāng)x＞0時(shí)，總有$（\frac{1}{x}-x）f'（x）•ln（1-{x^2}）＞2f（x）$恒成立，即$f'（x）•ln（1-{x^2}）＞\frac{2x}{{1-{x^2}}}f（x）$成立，也就是$f'（x）•ln（1-{x^2}）+\frac{-2x}{{1-{x^2}}}f（x）＞0$恒成立，又因?yàn)閘n（1-x²）=ln（1-x）+ln（1+x），所以$（ln（1-{x^2}））'=\frac{-1}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{-2x}{{1-{x^2}}}$，所以即是[f（x）•ln（1-x²）]'＞0恒成立，可見函數(shù)g（x）=f（x）•ln（1-x²）在（0，1）上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)y=ln（1-x²）是偶函數(shù)，所以函數(shù)g（x）=f（x）•ln（1-x²）是偶函數(shù)，所以在（-1，0）上單調(diào)遞減．
又$f（\frac{1}{2}）=f（-\frac{1}{2}）=0$，所以$g（\frac{1}{2}）=g（-\frac{1}{2}）=g（0）=0$，所以g（x）的圖象如下：
所以在$（\frac{1}{2}，1）$時(shí)，g（x）＞0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＜0成立
而在$（0，\frac{1}{2}）$時(shí)，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＞0，
又由函數(shù)f（x）的圖象對稱性可知，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查利用函數(shù)的對稱性及導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．