Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$，關(guān)于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)不可能為（　�。�

• A． 5個
• B． 6個
• C． 7個
• D． 8個

Answer 1

分析 由基本不等式可得x+$\frac{1}{x}$-2≥0或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4，再作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$的圖象，從而由圖象分類討論，從而由此分析關(guān)于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)．

解答 解：由基本不等式可得，
x+$\frac{1}{x}$-2≥0或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4；
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$的圖象如下，

①當(dāng)a＞2時，x+$\frac{1}{x}$-2＜-24或$\frac{24}{25}$＜x+$\frac{1}{x}$-2＜1，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為4；
②當(dāng)a=2時，x+$\frac{1}{x}$-2=-24或x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{24}{25}$或x+$\frac{1}{x}$-2=2，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為6；
③當(dāng)1＜a＜2時，-24＜x+$\frac{1}{x}$-2＜-4或$\frac{4}{5}$＜x+$\frac{1}{x}$-2＜$\frac{24}{25}$或1＜x+$\frac{1}{x}$-2＜2或2＜x+$\frac{1}{x}$-2＜3，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為8；
④當(dāng)a=1時，x+$\frac{1}{x}$-2=-4或0＜x+$\frac{1}{x}$-2＜1或1=x+$\frac{1}{x}$-2或x+$\frac{1}{x}$-2=3，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為7；
⑤當(dāng)0＜a＜1時，-4＜x+$\frac{1}{x}$-2＜0或3＜x+$\frac{1}{x}$-2＜4或0＜x+$\frac{1}{x}$-2＜1，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為4；
⑥當(dāng)a=0時，x+$\frac{1}{x}$-2=0或3＜x+$\frac{1}{x}$-2＜4，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為3；
⑦當(dāng)a＜0時，x+$\frac{1}{x}$-2＞3，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個數(shù)為2．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象的作法及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．