Question

10．若F（x）=a•f（x）g（x）+b•[f（x）+g（x）]+c（a，b，c均為常數(shù)），則稱F（x）是由函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）所確定的“a→b→c”型函數(shù)．設(shè)函數(shù)f₁（x）=x+1與函數(shù)f₂（x）=x²-3x+6，若f（x）是由函數(shù)f₁^-1（x）+1與函數(shù)f₂（x）所確定的“1→0→5”型函數(shù)，且實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）=$\frac{1}{2}$f（n）=6，則m+n的值為2．

Answer 1

分析 由新定義，確定f（x）=x（x²-3x+6）+5，利用f（m）=$\frac{1}{2}$f（n）=6，可得m（m²-3m+6）=1，n（n²-3n+6）=7，設(shè)m+n=t，則m=t-n，代入m（m²-3m+6）=1，可得（t-n）[（t-n）²-3（t-n）+6]=1，即n³-（3t-3）n²+（3t²-6t+6）n-t³+3t²-6t+1=0，對(duì)照n²的系數(shù)，可得3t-3=-3，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f₁（x）=x+1，∴f₁^-1（x）=x-1，
即f₁^-1（x）+1=x-1+1=x，
∵f（x）是由函數(shù)f₁^-1（x）+1與函數(shù)f₂（x）所確定的“1→0→5”型函數(shù)，
∴f（x）=x（x²-3x+6）+5，
由f（m）=$\frac{1}{2}$f（n）=6可得f（m）=6，f（n）=12，
即m（m²-3m+6）=1，n（n²-3n+6）=7，
設(shè)m+n=t，則m=t-n，
代入m（m²-3m+6）=1，可得（t-n）[（t-n）²-3（t-n）+6]=1，
即n³-（3t-3）n²+（3t²-6t+6）n-t³+3t²-6t+1=0，
對(duì)照n²的系數(shù)，可得3t-3=-3，
∴t=2
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確換元是關(guān)鍵．