Question

15．直線l過點P（0，2）且與橢圓$\frac{x^2}{2}$+y²=1相交于M，N兩點，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，由△＞0，解得k²＞$\frac{3}{2}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|，運用點到直線的距離公式公式可得：原點O到直線l的距離d，再利用S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d，運用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k²＞$\frac{3}{2}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}-24}$．
原點O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{2\sqrt{4{k}^{2}-6}}{1+2{k}^{2}}$
=2$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{{k}^{2}-\frac{3}{2}}+4}}$≤2$\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當k²=$\frac{7}{2}$時取等號，滿足△＞0．
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$x+2+2，
此時面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．