Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π，
（1）求ω的值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由條件利用y=Asin（ωx+φ ）的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$，求得ω的值．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈z．
結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈z．
結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，利用了y=Asin（ωx+）的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$，還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．