【題目】如圖,已知圓柱內(nèi)有一個三棱錐,為圓柱的一條母線,,為下底面圓的直徑,,.

1)在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點,使得平面?證明你的結論.

2)設點為棱的中點,,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)當點為上底面圓的圓心時,證明見解析.(2

【解析】

1)當點為上底面圓的圓心時,平面,取上底面圓的圓心為,連接,,,先證明四邊形為平行四邊形,可得到,然后可得四邊形為平行四邊形,然后得到即可.

2)以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,算出平面的法向量,平面的一個法向量為,然后算出答案即可.

1)當點為上底面圓的圓心時,平面.

證明如下:

如圖,取上底面圓的圓心為,連接,,

,.

所以四邊形為平行四邊形,

所以,所以.

,所以四邊形為平行四邊形,

所以.

因為平面,平面

所以平面.

故點為上底面圓的圓心時,平面.

2)以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.

于是可得,,,,

所以.

設平面的一個法向量為,

,得.

,則可取.

取平面的一個法向量為.

設平面與平面所成的銳二面角為,則

,

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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