Question

設(shè)有關(guān)于x的方程ax²-2bx+a=0．
（1）若a是從1，2兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，2]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1，5]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程沒(méi)有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，由分步計(jì)數(shù)原理知基本事件共10個(gè)，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的充要條件為a≤b，滿(mǎn)足條件的事件中包含9個(gè)基本事件，由古典概型公式得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤2，1≤b≤5}．構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤2，1≤b≤5，a＞b}．根據(jù)幾何概型公式得到結(jié)果．

解答： 解：設(shè)事件A為“方程a²+2ax+b²=0有實(shí)根”．
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的充要條件為a≤b．
（Ⅰ）基本事件共12個(gè)：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2）（2，3），（2，4），（2，5），
其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，
事件A發(fā)生的概率為P（A）=

9

10

．
（Ⅱ）試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤2，1≤b≤5}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤5，a＞b}．
所以所求的概率為=

2×5- 1 2 ×22

2×5

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類(lèi)型的解答題．