Question

【題目】設(shè)點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)系原點(diǎn)），點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離大1，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（1）求曲線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

①若，求直線的直線方程；

②分別過(guò)點(diǎn)，作曲線的切線且交于點(diǎn)，是否存在以為圓心，以為半徑的圓與經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，然后坐標(biāo)表示等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到曲線的方程；

（2）①設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理和求解即可；②由過(guò)的切線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離及的距離表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍.

解：（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為.

由題意知，∵，

∴，化簡(jiǎn)得為所求方程.

（2）①由題意知，直線的斜率必存在，因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，

所以設(shè)直線的方程為

聯(lián)立，消得，設(shè)，

∴，，

又∵，∴，

∴，或，，

∴或，

∴直線的方程為或.

②

過(guò)點(diǎn)的切線方程為，①

過(guò)點(diǎn)的切線方程為，②

聯(lián)立①②得，

∴，即，

∴，

又∵點(diǎn)到直線的距離為，

∴，∴.

又∵，

∴.

令，，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴，

∴的取值范圍為.