Question

證明：當x≥0時，cosx≥1-

1

2

x²．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：證明題,導數的綜合應用

分析：構造函數f（x）=cosx+

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2

x²-1，求導f′（x）=x-sinx；再二階求導f″（x）=1-cosx；從而確定函數的單調性，從而證明．

解答： 證明：令f（x）=cosx+

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2

x²-1；
則f′（x）=x-sinx；
f″（x）=1-cosx；
∵f″（x）=1-cosx≥0；
∴f′（x）=x-sinx在[0，+∞）上是增函數，
而f′（0）=0；
故f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立；
故f（x）=cosx+

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2

x²-1在[0，+∞）上是增函數；
故cosx+

1

2

x²-1≥cos0-1=0；
故當x≥0時，cosx≥1-

1

2

x²．

點評：本題考查了導數的綜合應用及二階求導的應用，屬于中檔題．