Question

已知非負(fù)實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，則a²+b²+c²+18abc的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于非負(fù)實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，由對稱性可設(shè)a≥b≥c≥0，得到a≥

1

3

．把b+c=1-a代入a²+b²+c²+18abc=2a²-2a+1+2bc（9a-1）≥2a²-2a+1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵非負(fù)實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，
由對稱性可設(shè)a≥b≥c≥0，∴a≥

1

3

．
故a²+b²+c²+18abc=a²+（1-a）²-2bc+18abc=2a²-2a+1+2bc（9a-1）
≥2a²-2a+1=2(a-

1

2

)2+

1

2

≥

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

，c=0時取等號．
因此a²+b²+c²+18abc的最小值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了利用“消元思想”和二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和靈活的轉(zhuǎn)化思想方法，屬于難題．