Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有相同的焦點(diǎn)F，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M（-3，t），|MF|=$\frac{{\sqrt{153}}}{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程及M點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得p的值，根據(jù)勾股定理即可求得t的值，代入漸近線方程，求得a與b的關(guān)系，求得雙曲線的離心率公式．

解答 解：由題意可知：拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)坐標(biāo)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程x=-$\frac{p}{2}$，
由M在拋物線的準(zhǔn)線上，則-$\frac{p}{2}$=-3，則p=6，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（3，0），
∴|MF|=$\sqrt{（-3-3）^{2}+{t}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{153}}}{2}$，則t²=$\frac{9}{4}$，解得：t=±$\frac{3}{2}$，
雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，將M代入漸近線方程，$\frac{3}{2}$=3×$\frac{a}$，
即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線及拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．