Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a•{2^x}（x≤0）\\{log_2}x（x＞0）\end{array}$，若關(guān)于x的方程f[f（x）]=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)f（x）=t，則方程等價(jià)為f（t）=0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)求出t=1，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：令f（x）=t，則方程f[f（x）]=0等價(jià)為f（t）=0，
由選項(xiàng)知a≠0，
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=log₂x=0得x=1，
即t=1，作出f（x）的圖象如圖：
若a＜0，則t=1與y=f（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，恒滿足條件，
若a＞0，要使t=1與y=f（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
則只需要當(dāng)x≤0，t=1與f（x）=a•2^x，沒有交點(diǎn)，
即此時(shí)f（x）=a•2^x＜1，
即f（0）＜1，
即a•2⁰＜1，
解得0＜a＜1，
綜上0＜a＜1或a＜0，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法求出t=1是解決本題的關(guān)鍵．注意利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．