Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a•{2^x}（x≤0）\\{log_2}x（x＞0）\end{array}$，若關于x的方程f[f（x）]=0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法設f（x）=t，則方程等價為f（t）=0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象和性質求出t=1，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：令f（x）=t，則方程f[f（x）]=0等價為f（t）=0，
由選項知a≠0，
當a＞0時，當x≤0，f（x）=a•2^x＞0，
當x＞0時，由f（x）=log₂x=0得x=1，
即t=1，作出f（x）的圖象如圖：
若a＜0，則t=1與y=f（x）只有一個交點，恒滿足條件，
若a＞0，要使t=1與y=f（x）只有一個交點，
則只需要當x≤0，t=1與f（x）=a•2^x，沒有交點，
即此時f（x）=a•2^x＜1，
即f（0）＜1，
即a•2⁰＜1，
解得0＜a＜1，
綜上0＜a＜1或a＜0，
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1），
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)方程根的個數(shù)的應用，利用換元法求出t=1是解決本題的關鍵．注意利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，結合數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強．