Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+a(a為常數(shù)，n∈N*)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求常數(shù)a的值及a_n；
（3）對(duì)于（2）中的a_n，記f（n）=λ•a_2n+1-4λ•a_n+1-3，若f（n）＜0對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出a₁，a₂，a₃．
（2）由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，得到a22=a1•a3，由此能求出常數(shù)a的值及a_n．
（3）由an=2n-1，得到f（n）=λ（2ⁿ-2）²-3-4λ，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+a(a為常數(shù)，n∈N*)，
∴a₁=S₁=2+a，
S₂=（2+a）+a₂=4+a，解得a₂=2，
a₃=S₃-S₂=8-4=4．
（2）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
由（1）知a₁=2+a，a₂=2，a₃=4，
∴a22=a1•a3，即4=（2+a）•4，
解得a=-1．
∴a1=1，q=

a2

a   1

=2，
∴an=2n-1．
（3）∵an=2n-1，
∴f（n）=λ•a_2n+1-4λ•a_n+1-3
=λ•2²ⁿ-4λ•2ⁿ-3
=λ（2ⁿ-2）²-3-4λ＜0，
∴λ＜

3

(2n-2)2-4

≤-

3

4

．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，要合理運(yùn)用不等式知識(shí)進(jìn)行解題．