Question

8．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，3]

Answer 1

分析 由向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，再由基本不等式可得0＜|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≤$\frac{1}{3}$，即可得到所求范圍．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1，
即有（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=$\overrightarrow{a}$²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos120°+$\overrightarrow$²
=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≥2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|=3|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，
即有0＜|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≤$\frac{1}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，取得等號．
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|cos120°}$=$\sqrt{1-2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，
即有$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|＜1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．