Question

13．一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，其中有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱．
（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用側(cè)面積公式求解即可．
（2）由（1）由題意作出幾何體的軸截面，根據(jù)軸截面和比例關(guān)系列出方程，求出圓柱的底面半徑，再表示出圓柱的側(cè)面積；根據(jù)基本不等式求出側(cè)面面積的最大值．

解答 解：（1）母線長(zhǎng)為：$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{10}$（cm），所以圓錐的側(cè)面積S=πrl=4$\sqrt{10}π$．（cm²）．
（2）設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r，它的軸截面如圖：
由圖得，$\frac{r}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，即r=2-$\frac{x}{3}$．
∴S_{圓柱側(cè)}=2πrx=2π（2-$\frac{x}{3}$）x=4πx-$\frac{2π}{3}$x2≤$\frac{2}{3}[\frac{（6-x）+x}{2}]^{2}π$=6π
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)圓柱的高為3cm時(shí)，它的側(cè)面積最大為6πcm²（10分）．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是簡(jiǎn)單組合體的面積問(wèn)題，關(guān)鍵是作出軸截面，求出長(zhǎng)度之間的關(guān)系式，表示出面積后利用函數(shù)的思想求出最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想．