Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC₁⊥平面ABC，BC=CA=AC₁．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求直線A₁B與平面AB₁C₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥B₁C₁．AC₁⊥AC．利用直線與平面垂直的判定定理證明AC⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）說明∠AOC₁為直線A₁B與平面AB₁C₁所成角，設BC=CA=AC₁=a，直角三角形AC₁O中，求解直線A₁B與平面AB₁C₁所成角的余弦值即可．

解答 （Ⅰ）證明：因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以BC∥B₁C₁．
又因為∠ACB=90°，所以AC⊥B₁C₁．…（3分）
因為AC₁⊥平面ABC，所以AC₁⊥AC．…（6分）
因為AC₁∩B₁C₁=C₁，所以AC⊥平面AB₁C₁．…（7分）
（Ⅱ）解：因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC∥A₁C₁，
又由（Ⅰ）知，AC⊥平面AB₁C₁，所以A₁C₁⊥平面AB₁C₁．…（10分）
設A₁B交AB₁于點O，所以∠AOC₁為直線A₁B與平面AB₁C₁所成角．…（12分）
設BC=CA=AC₁=a，
直角三角形AC₁O中，$O{C_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，${A_1}O=\frac{{\sqrt{6}}}{2}a$．…（14分）
因此，$cos∠{A_1}O{C_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，故直線A₁B與平面AB₁C₁所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（15分）

點評 本題考查直線與平面存在的判定定理的應用，直線與市場價的求法，考查計算能力以及轉化思想的應用．