Question

15．今年柴靜的《穹頂之下》發(fā)布后，各地口罩市場(chǎng)受其影響生意火爆．A市雖然霧霾現(xiàn)象不太嚴(yán)重，但經(jīng)抽樣有25%的市民表示會(huì)購(gòu)買口罩．現(xiàn)將頻率視為概率，解決下列問題：
（1）從該市市民中隨機(jī)抽取3位，求至少有一位市民會(huì)購(gòu)買口罩的概率；
（2）從該市市民中隨機(jī)抽取4位，X表示愿意購(gòu)買口罩的市民人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“某市民還會(huì)購(gòu)買口罩”為事件A，則P（A）=0.25．設(shè)X表示“該市市民中隨機(jī)抽取3位中還會(huì)購(gòu)買口罩的人數(shù)”．由P（X≥1）=1-P（X=0）即可得出．
（2）由題意可知：X=0，1，2，3，4．求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“某市民還會(huì)購(gòu)買口罩”為事件A，則P（A）=0.25．
設(shè)X表示“該市市民中隨機(jī)抽取3位中會(huì)購(gòu)買口罩的人數(shù)”．
P（X≥1）=1-P（X=0）=1-（1-0.25）³=$\frac{37}{64}$．
（2）由題意可知：X=0，1，2，3，4．
P（X=0）=（1-0.25）⁴=$\frac{81}{256}$，P（X=1）=${C}_{4}^{1}$×0.25×（1-0.25）³=$\frac{27}{64}$
P（X=2）=${C}_{4}^{2}$×0.25²×（1-0.25）²=$\frac{54}{256}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}$×0.25³×（1-0.25）=$\frac{12}{256}$，
P（X=4）=0.25⁴=$\frac{1}{256}$．
X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$

故E（X）=0×$\frac{81}{256}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{54}{256}$+3×$\frac{12}{256}$+4×$\frac{1}{256}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算公式、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查分布列及數(shù)學(xué)期望，屬于難題．