Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與三角恒等變換可求得f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，從而可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得函數(shù)f（x）的圖象如何由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

cos2x+1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．　　…（4分）
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）函數(shù)y=sinx圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin(x+

π

4

)的圖象；
然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來的

1

2

倍，得到函數(shù)y=sin(2x+

π

4

)的圖象；
再將曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮為原來的

2

2

倍，得到函數(shù)y=

2

2

sin(2x+

π

4

)的圖象；
最后把得到的曲線向上平移

1

2

個(gè)單位長度 就得到函數(shù)f（x）的圖象了．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與三角恒等變換，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于中檔題．