Question

14．如圖，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點F為拋物線y²=-4x的焦點，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且|AB|=3．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且滿足$\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AM}|}}}=\frac{{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AN}|}}}$，問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知c=1，令x=-c，代入橢圓方程可得y=$±\frac{^{2}}{a}$，$\frac{2^{2}}{a}=3，又{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}$，可得a²=4，b²=3
（2）由（1）知A（-1，$\frac{3}{2}$），設(shè)$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AF}的夾角為α$，$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{AF}的夾角為β$．由$\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AM}|}}}=\frac{{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AN}|}}}$得，直線AM、AN的傾斜角互補，直線AM、AN的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線AM：：y=k（x+1）+$\frac{3}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得$\frac{3}{2}$$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+4k（3+2k）x+4{k}^{2}+12k-3=0\\;\\;\$，利用韋達定理求出M、N的坐標(biāo)，直線MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{m}-{x}_{N}}=\frac{k（{x}_{M}+{x}_{N}）+2k}{{x}_{M}-{x}_{N}}=-\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由題意可知F（-1，0），所以c=1，
令x=-c，代入橢圓方程可得y=$±\frac{^{2}}{a}$，∴$\frac{2^{2}}{a}=3，又{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}$，∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）知A（-1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AF}的夾角為α$，$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{AF}的夾角為β$．
由$\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AM}|}}}=\frac{{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AN}|}}}$得，|$\overrightarrow{AF}$|cosα=|$\overrightarrow{AF}$|cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因為FA⊥x軸，
∴直線AM、AN的傾斜角互補，直線AM、AN的斜率互為相反數(shù)．
可設(shè)直線AM：：y=k（x+1）+$\frac{3}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得$\frac{3}{2}$$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+4k（3+2k）x+4{k}^{2}+12k-3=0\\;\\;\$，
設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），因為A（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}×（-1）$，${x}_{M}=-\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{M}=k{x}_{M}+\frac{3}{2}$．
∵直線AM、AN的斜率互為相反數(shù)，∴用-k換k得：
${x}_{N}=-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}，{y}_{N}=-kx-k+\frac{3}{2}$．
∴直線MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{m}-{x}_{N}}=\frac{k（{x}_{M}+{x}_{N}）+2k}{{x}_{M}-{x}_{N}}=-\frac{1}{2}$．
∴直線MN的斜率是否為定值-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，定點問題，屬于難題．