Question

15．已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0），B（2，0），C（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過D（1，0）點的直線l交橢圓異于A、B的兩點M，N，試證明直線AM與BN的交點在一條定直線上，并求出該直線的方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓E：Ax²+By²=1（A＞0，B＞0），代入A，B，C的坐標，解方程可得A，B，進而得到橢圓方程；
（II）將直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，運用韋達定理，求出直線AM，BN的方程，解得交點的橫坐標，化簡整理，即可得到交點在定直線x=4上．

解答 解：（I）設(shè)橢圓E：Ax²+By²=1（A＞0，B＞0），
將A，B，C代入得4A=1，A+$\frac{9}{4}$B=1，
解得A=$\frac{1}{4}$，B=$\frac{1}{3}$，
可得橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（II）證明：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程得
（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}⇒2{x_1}{x_2}=5（{x_1}+{x_2}）-8$，
直線AM的方程為$y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2）$，即$y=\frac{{k（{x_1}-1）}}{{{x_1}+2}}（x+2）$，
直線BN的方程為$y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，即$y=\frac{{k（{x_2}-1）}}{{{x_2}-2}}（x-2）$，
聯(lián)立得$x=\frac{{2（2{x_1}{x_2}-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=\frac{{2（5{x_1}+5{x_2}-8-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=4$，
或$\begin{array}{l}x=\frac{{2（2{x_1}{x_2}-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=\frac{{2[{2{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+4{x_2}}]}}{{（{x_1}+{x_2}）+2{x_2}-4}}=\frac{{2[{\frac{{8（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{24{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+4{x_2}}]}}{{\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+2{x_2}-4}}\end{array}$
=$\frac{{4（-\frac{{4{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}+{x_2}）}}{{-\frac{{4{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}+{x_2}}}=4$，
所以直線AM與直線BN的交點在定直線x=4上．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查兩直線的交點在定直線上的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立．運用韋達定理，以及聯(lián)立直線方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．