Question

7．已知P為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是焦點(diǎn)，∠F₁PF₂取最大值時(shí)的余弦值為$\frac{1}{3}$，則此橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)P是橢圓短軸的頂點(diǎn)時(shí)，∠F₁PF₂ 取最大值，利用條件，運(yùn)用余弦定理和離心率公式，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)P是橢圓短軸的頂點(diǎn)時(shí)，∠F₁PF₂ 取最大值，
P為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)的余弦值為$\frac{1}{3}$，
由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
即有$\frac{1}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}$，
化為a²=3c²，則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)：離心率的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．