Question

19．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，且tanA，tanB，tanC，2tanB成等差數(shù)列，則cos（B-A）=（　�。�

• A． -$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• B． -$\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的公式將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出tanA，tanB，tanC的具體值，然后求出tan（B-A），即可得到結(jié)論．

解答 解：∵tanA，tanB，tanC，2tanB成等差數(shù)列，
∴tanA+tanC=2tanB，
2tanC=tanB+2tanB=3tanB，
即tanC=$\frac{3}{2}$tanB，tanA=$\frac{1}{2}$tanB，
∵tanC=tan（π-A-B）=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{3}{2}$tanB，
即$\frac{\frac{1}{2}tanB+tanB}{1-\frac{1}{2}ta{n}^{2}B}$=-$\frac{3}{2}$tanB，
整理得tan²B=4，解得tanB=2，（tanB=-2舍，否則A，B，C都是鈍角不成立），
則tanA=$\frac{1}{2}$tanB=1，
則tan（B-A）=$\frac{tanB-tanA}{1+tanAtanB}$=$\frac{2-1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
則B-A為銳角，
則cos²（B-A）=$\frac{co{s}^{2}（B-A）}{si{n}^{2}（B-A）+co{s}^{2}（B-A）}$=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（B-A）}$=$\frac{1}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{9}{10}$，
則cos（B-A）=$\sqrt{\frac{9}{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系進(jìn)行求解，利用兩角和差的正切公式是解決本題的關(guān)鍵．