Question

9．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），對稱軸為x=1，且方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意的x∈[-2，1]，不等式$f（x）≤m-\frac{3}{2}{x^2}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知-$\frac{2a}$=1，△=（b-1）²-4a×0=0，進而求出a，b值；
（2）不等式可整理為x²+x≤m恒成立，只需求出左式的最大值即可得出m的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx的對稱軸為直線x=1，且方程f（x）=x有等根．
∴-$\frac{2a}$=1，由方程有兩個相等實根，得△=（b-1）²-4a×0=0，
∴b=1，a=-$\frac{1}{2}$
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）$f（x）≤m-\frac{3}{2}{x^2}$恒成立，
∴x²+x≤m恒成立，
令g（x）=x²+x，
∴g（x）_max=2，
∴m≥2．

點評 考查了二次函數(shù)性質(zhì)和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．