Question

1．在四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，對角線AC與BD交于點O，且PA⊥平面ABCD．
（1）求證：PC⊥BD．
（2）過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E，且三棱錐E-BCD的體積取到最大值時，求直線ED與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由正方形性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直得PA⊥BD，由此能證明PC⊥BD．
（2）設(shè)PA=x，由已知推導(dǎo)出x=$\sqrt{2}$時，三棱錐E-BCD的體積取到最大值，此時四棱錐E-ABCD的高為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，以點A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線ED與平面PAB所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
又PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）解：設(shè)PA=x，三棱錐E-BCD的底面積為定值，
在△PBC中，由已知得PB=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，PC=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，
又BC=1，故△PBC直角三角形．
又BE⊥PC，得EC=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，解得該三棱錐的高h=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$．
當且僅當x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$時，三棱錐E-BCD的體積取到最大值，∴h=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
此時四棱錐E-ABCD的高為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，PA=$\sqrt{2}$．
以點A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），由已知得CE=$\frac{1}{4}$CP．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{CP}$=（$\frac{3}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），∴E=（$\frac{3}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow{ED}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
又平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)直線ED與平面PAB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{ED}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{ED}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{16}+\frac{2}{16}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線ED與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．