Question

19．證明不等式：$\frac{x}{\sqrt{y}}$+$\frac{y}{\sqrt{x}}$≥$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$（其中x，y皆為正數(shù)）．

Answer 1

分析 運(yùn)用分析法證明，可在不等式的兩邊乘以$\sqrt{xy}$，作差，因式分解，討論x，y的大小，即可得證．

解答 證明：因?yàn)閤，y皆為正數(shù)，
所以原不等式等價(jià)于（$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}$）$\sqrt{xy}$≥（$\sqrt{x}+\sqrt{y}$）$\sqrt{xy}$，
即x$\sqrt{x}$+y$\sqrt{y}$≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$，整理得（$\sqrt{x}-\sqrt{y}$）（x-y）≥0．
當(dāng)x-y≥0時(shí)，x≥y，則$\sqrt{x}$≥$\sqrt{y}$，$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$≥0，所以上式成立；
當(dāng)x-y≤0時(shí)，x≤y，則$\sqrt{x}$≤$\sqrt{y}$，$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$≤0，上式也成立．
綜上知，原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法證明，考查推理能力，屬于中檔題．