Question

9．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的中心為原點O，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，點P是直線x=$\frac{{a}^{2}}{3}$上任意一點，點Q在雙曲線E上，且滿足$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0．問：若點P的縱坐標(biāo)為1，過點P作動直線L，與雙曲線右支交于不同的點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點H，滿足$\frac{PM}{PN}$=$\frac{MH}{HN}$，證明點H恒在一條直線上．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線E的半焦距為c，根據(jù)離心率為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，雙曲線方程，即可求實數(shù)a的值，設(shè)點H（x，y），且過點P（$\frac{5}{3}$，1）的直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁²=$\frac{4}{5}$（x₁²-5），y₂²=$\frac{4}{5}$（x₂²-5），設(shè)$\frac{PM}{PN}$=$\frac{MH}{HN}$=λ，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡可得點H恒在定直線4x-3y-12=0上．

解答 證明：設(shè)雙曲線E的半焦距為c，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$．
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，直線x=$\frac{5}{3}$，點F₂（3，0）．
設(shè)設(shè)點H（x，y），點P（$\frac{5}{3}$，1）的直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
y₁²=$\frac{4}{5}$（x₁²-5），y₂²=$\frac{4}{5}$（x₂²-5）．
設(shè)$\frac{PM}{PN}$=$\frac{MH}{HN}$=λ，則（x₁-$\frac{5}{3}$，y₁-1）=λ（x₂-$\frac{5}{3}$，y₂-1），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），
∴x₁-λx₂=$\frac{5}{3}$（1-λ）①，y₁-λy₂=1-λ②，x₁+λx₂=x（1-λ）③，y₁+λy₂=y（1+λ）④，
由①×③得x₁²-λ²x₂²=$\frac{5}{3}$（1-λ²）x⑤，②×④得y₁²-λy₂²=（1-λ²）y⑥，
將y₁²=$\frac{4}{5}$（x₁²-5），y₂²=$\frac{4}{5}$（x₂²-5）代入⑥，得y=$\frac{4}{5}×\frac{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$-4 ⑦
將⑤代入⑦，得y=$\frac{4}{3}$x-4．
∴點H恒在定直線4x-3y-12=0上

點評 本小題主要考查直線的斜率、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．