Question

12．已知a，b∈R，且|a|≠|(zhì)b|，求證：$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$＜|a-b|．

Answer 1

分析 證明：$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$＜|a-b|，即證明|a+b|＜$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+^{2}}$．利用三角不等式即可證明．

解答 證明：∵a，b∈R，且|a|≠|(zhì)b|，
∴證明：$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$＜|a-b|，即證明|a+b|＜$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+^{2}}$．
∵|a+b|＜|a|+|b|＜$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+^{2}}$，
∴$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$＜|a-b|．

點評 本題考查不等式的證明，考查絕對值不等式的運用，屬于中檔題．