Question

16．如圖所示，直線DA過圓O的圓心，且交圓O于A，B兩點，BC=CO=$\frac{1}{2}$BD，DM為圓O的一條割線，且與圓O交于M，T兩點．
（1）證明：DT•DM=DO•DC；
（2）若∠DOT=80°，BM平分∠DMC，求∠BMC的大�。�

Answer 1

分析 （1）由割線定理可得DT•DM=DB•DA，結(jié)合題中中點條件利用半徑作為中間量進行代換，即可得證；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論證得△DTO∽△DCM，得到兩個角∠DOT、∠DMC相等，結(jié)合圓周角定理即可求得∠BMC．

解答 （1）證明：由割線定理得DT•DM=DB•DA，
設(shè)半徑OB=r（r＞0），
因BD=OB，且BC=OC=$\frac{r}{2}$，
則DB•DA=r•3r=3r²，DO•DC=2r•$\frac{3}{2}$r=3r²，
所以DT•DM=DO•DC．
（2）解：由（1）可知，DT•DM=DO•DC，
且∠TDO=∠CDM，
故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；
根據(jù)圓周角定理得，∠DOT=2∠DMB，則∠DMB=40°，
即有∠BMC=40°．

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、圓中的割線定理，屬于中檔題．