Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當a＞1時，若函數(shù)h（x）=g（x）+5+

1

a

有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出方程的斜率，然后利用點斜式求得；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，因為含有參數(shù)a，需要進行分類討論；
（Ⅲ）函數(shù)h(x)=g(x)+5+

1

a

有三個不同的零點等價于

[h(x)]極大＞0 [h(x)]極小＜0

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-2x+2lnx，
∴f′(x)=2x-2+

2

x

=

2(x2-x+1)

x

，
∴k=f'（1）=2，f（1）=-1，
設(shè)切線方程為y-f（1）=k（x-1），
代入切線方程，化簡得：y=2x-3；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x，
∴g（x）=f（x）-2x=ax²-2（a+1）x+2lnx
∴g′(x)=2ax-2(a+1)+

2

x

=

2ax2-2(a+1)x+2

x

=

2a(x-1)(x- 1 a )

x

，（x＞0）
∵x＞0，a＞0，由(x-1)(x-

1

a

)=0⇒x1=

1

a

，x2=1，
①當0＜a＜1時，

1

a

＞1
在區(qū)間(0，1)，(

1

a

，+∞)上g'（x）＞0，在區(qū)間(1，

1

a

)上g'（x）＜0
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，(

1

a

，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間是(1，

1

a

)，
②當a＞1時，0＜

1

a

＜1，在區(qū)間(0，

1

a

)，(1，+∞)上g'（x）＞0，在區(qū)間(

1

a

，1)上g'（x）＜0
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

a

)，(1，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間是(

1

a

，1)．
③當a=1時，g'（x）≥0恒成立，故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
（Ⅲ）∵h（x）與g（x）的單調(diào)性相同，當a＞1，由（Ⅱ）②可知：
函數(shù)h(x)=g(x)+5+

1

a

有三個不同的零點等價于

[h(x)]極大＞0 [h(x)]極小＜0

，
又

[h(x)]極大=h( 1 a ) [h(x)]極小=h(1)

，
∴

h( 1 a )=3+2ln 1 a ＞0 h(1)=3+ 1 a -a＜0

∴

1＜a＜e 3 2 3+ 13 2 ＜a

⇒

3+ 13

2

＜a＜e

3

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論、數(shù)形結(jié)合思想，較難題．