Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-2tx+t（t∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=x平行，求實數(shù)t的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，1]，都有|f（x）|≤5成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導函數(shù)，因為切線與直線y=x平行得到兩條直線斜率相等，得到切線的斜率為1即f′（1）=1，解出t即可；
（Ⅱ）對參數(shù)t進行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出問題的答案．

解答： 解：（Ⅰ） 由于函數(shù)f（x）=2x³-2tx+t（t∈R）．
則f′（x）=6x²-2t，
又由曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=x平行，則f′（1）=1，解得t=

5

2

，
故實數(shù)t的值為

5

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=6x²-2t，
（1）當t≤0，函數(shù)f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，

f(1)=2-t≤5 f(0)=t≥-5

，
解得-3≤t≤0，
（2）當t≥3，函數(shù)f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，

f(1)=2-t≥-5 f(0)=t≤5

，
解得3≤t≤5，
（3）當0＜t＜3，函數(shù)函數(shù)f（x）在(0，

t 3

)上遞減及(

t 3

，1)上遞增，
此時

f(1)=2-t≥-5 f(0)=t≤5

，恒成立，f（x）=2x³-2tx+t＞0-2t+t=-t＞5，
當實數(shù)t的取值范圍為3≤t≤5時，對任意的x∈[0，1]，都有|f（x）|≤5成立．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題的解決，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想．