Question

6．某公司是一家專做某產(chǎn)品國(guó)內(nèi)外銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品在上市40天內(nèi)全部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品的銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果如下：圖①中的折線是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的銷售情況；圖②中的拋物線是國(guó)外市場(chǎng)的銷售情況；圖③中的折線是銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系（國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同）．

（1）求該公司第一批產(chǎn)品日銷售利潤(rùn)Q（t）（單位：萬元）與上市時(shí)間t（單位：天）的關(guān)系式，
（2）求該公司第一批新產(chǎn)品上市后，從哪一天開始國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用一次函數(shù)的解析式可得f（t），再設(shè)g（t）=at（t-40），代入（20，60），即可得到g（t）；設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)為q（t），求得q（t），可得Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]；
（2）由題意可得國(guó)內(nèi)外銷售利潤(rùn)q（t）與上市時(shí)間t相同，要使國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)，只需國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售量f（t）不小于國(guó)外市場(chǎng)日銷售量g（t）．討論t的范圍：①當(dāng)0≤t≤30時(shí)，②當(dāng)30＜t≤40時(shí)，解不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由圖①得函數(shù)的解析式為：f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2t，0≤t≤30}\\{240-6t，30＜t≤40}\end{array}\right.$，
設(shè)國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量g（t）=at（t-40），
g（20）=20a•（-20）=60，解得a=-$\frac{3}{20}$，
則g（t）=-$\frac{3}{20}$t²+6t（0≤t≤40）．
設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)為q（t），
則q（t）=$\left\{\begin{array}{l}{3t，0≤t≤20}\\{60，20＜t≤40}\end{array}\right.$，
從而這家公司的日銷售利潤(rùn)Q（t）的解析式為：Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]
=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{20}{t}^{3}+24{t}^{2}，0≤t≤20}\\{-9{t}^{2}+480t，20＜t≤30}\\{-9{t}^{2}+14400，30＜t≤40}\end{array}\right.$；
（2）由題意可得國(guó)內(nèi)外銷售利潤(rùn)q（t）與上市時(shí)間t相同，
要使國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)，
只需國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售量f（t）不小于國(guó)外市場(chǎng)日銷售量g（t）．
①當(dāng)0≤t≤30時(shí)，令f（t）≥g（t），則2t≥-$\frac{3}{20}$t²+6t，解得$\frac{80}{3}$≤t≤30；
②當(dāng)30＜t≤40時(shí)，令h（t）=f（t）-g（t）=$\frac{3}{20}$t²-12t+240，
由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．
由①②可得該公司第一批新產(chǎn)品上市后，
從27開始國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用題的解法，考查不等式的解法，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．