Question

2．某工廠為了檢查一條流水線的生產(chǎn)情況，從該流水線上隨機(jī)抽取40件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的重量（單位：克），整理后得到如下的頻率分布直方圖（其中重量的分組區(qū)間分別為（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）
（I）若從這40件產(chǎn)品中任取兩件，設(shè)X為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列；
（Ⅱ）若將該樣本分布近似看作總體分布，現(xiàn)從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有兩件產(chǎn)品的重量超過505克的概率．

Answer 1

分析 （ I）根據(jù)頻率分布直方圖求出重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，推出隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0，1，2
求出概率，得到隨機(jī)變量X的分布列．
（Ⅱ）求出該流水線上產(chǎn)品的重量超過505克的概率為0.3，推出Y～B（5，0.3）．然后求解所求概率．

解答 解：（ I）根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為[（0.001+0.005）×5]×40=12．
由題意得隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0，1，2
$P（X=0）=\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{63}{130}$，$P（X=1）=\frac{{C}_{28}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{40}^{2}}=\frac{28}{65}$，$P（X=2）=\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{40}^{2}}=\frac{11}{130}$．
∴隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{63}{130}$	$\frac{28}{65}$	$\frac{11}{130}$

（Ⅱ）由題意得該流水線上產(chǎn)品的重量超過505克的概率為0.3
設(shè)Y為該流水線上任取5件產(chǎn)品重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，則Y～B（5，0.3）．
故所求概率為P（Y=2）=${C}_{5}^{2}×{0.3}^{2}×{0.7}^{3}=0.3087$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，以及概率的求法，考查計(jì)算能力．