Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x），x∈R，對于任意的x，y∈R，f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求證：f（0）=0，且f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：y=f（x），x∈R是增函數(shù)；
（3）設f（1）=2，求f（x）在x∈[﹣5，5]時的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令x=y=0，則f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），∴f（0）=0．

令x=0，則f（﹣y）=f（0）﹣f（y）=﹣f（y），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

（2）證明：設x1，x2∈R，x1＜x2，則x2﹣x1＞0，

∵當x＞0時，f（x）＞0．∴f（x2﹣x2）=f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），

∴y=f（x），x∈R是增函數(shù)

（3）解：由（2）可知：f（x）在x∈[﹣5，5]時是增函數(shù)，

因此最大值與最小值分別為f（5），f（﹣5）．

∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（2﹣1）=2f（1）=4，f（4）=2f（2）=8．

f（5）=f（1）+f（5﹣1）=2+8=10．

∴f（﹣5）=﹣f（5）=﹣10．

∴f（x）在x∈[﹣5，5]時的最大值與最小值分別為10，﹣10

【解析】（1）令x=y=0，解得f（0）=0．令x=0，可得f（﹣y）=﹣f（y），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．（2）設x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， 則x2﹣x1＞0，可得當x＞0時，f（x）＞0．f（x2﹣x2）=f（x2）﹣f（x1）＞0即可證明．（3）由（2）可知：f（x）在x∈[﹣5，5]時是增函數(shù)，因此最大值與最小值分別為f（5），f（﹣5）．由f（1）=2，可得f（2）=f（1）+f（2﹣1）=2f（1），同理可得f（4）=2f（2）．可得f（5）=f（1）+f（5﹣1），f（﹣5）=﹣f（5）．