Question

4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球半徑為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{7\sqrt{2}}{3}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖知幾何體是三棱錐為棱長(zhǎng)為4的正方體一部分，畫(huà)出直觀圖，由正方體的性質(zhì)求出棱長(zhǎng)、判斷出各面形狀，畫(huà)出三棱錐C-ABD以及外接球，由△ABD是等邊三角形，判斷出球心O在△ABD的射影的位置，判斷線與線的位置關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)畫(huà)出平面圖形，利用勾股定理列出方程組，求出該四面體的外接球半徑．

解答 解：由三視圖知幾何體是三棱錐A-BCD，為棱長(zhǎng)為4的正方體一部分，
直觀圖如圖所示：
由正方體的性質(zhì)可得，AB=AD=BD=4$\sqrt{2}$，
AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=6，
設(shè)三棱錐C-ABD的外接球球心是O，設(shè)半徑是R，
取AB的中點(diǎn)E，連接CE、DE，如圖所示：
設(shè)OA=OB=OC=OD=R，△ABD是等邊三角形，
∴O在底面△ABD的射影是△ABD中心F，
∵DE⊥BE，BE=2$\sqrt{2}$，∴DE=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$2\sqrt{6}$，
同理可得，CE=$2\sqrt{3}$，則滿(mǎn)足CE²+DE²=CD²，即CE⊥DE，
在RT△CED中，設(shè)OF=x，
∵F是等邊△ABD的中心，
∴$DF=\frac{2}{3}DE=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
$EF=\frac{1}{3}DE=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{O{D}^{2}=O{F}^{2}+D{F}^{2}}\\{O{C}^{2}=E{F}^{2}+（CE-OF）^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}={x}^{2}+{（\frac{4\sqrt{6}}{3}）}^{2}}\\{{R}^{2}={（\frac{2\sqrt{6}}{3}）}^{2}+{（2\sqrt{3}-x）}^{2}}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入其中一個(gè)方程得，R=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{99}{9}}$=$\sqrt{11}$，
∴該四面體的外接球半徑是$\sqrt{11}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由三視圖求幾何體外接球的表面積，以及三棱錐外接球問(wèn)題，在三視圖與直觀圖轉(zhuǎn)化過(guò)程中，以一個(gè)正方體為載體是很好的方式，使得作圖更直觀，考查空間想象能力．