Question

14．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$（0＜a＜1）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，a]時，函數(shù)f（x）的值域是（-∞，1]，則實數(shù)a+b的值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，建立方程關(guān)系即可求出b，然后根據(jù)分式函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可求出a．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$（0＜a＜1）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)og_a$\frac{1-x}{b+x}$+log_a$\frac{1+x}{b-x}$=log_a$\frac{1-x}{b+x}$•$\frac{1+x}{b-x}$=0，
即$\frac{1-x}{b+x}$•$\frac{1+x}{b-x}$=1，
∴1-x²=b²-x²，
即b²=1，解得b=±1．
當(dāng)b=-1時，函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$=f（x）=log_a$\frac{1-x}{-1+x}$=log_a（-1）無意義，舍去．
當(dāng)b=1時，函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$=log_a$\frac{1-x}{1+x}$為奇函數(shù)，滿足條件．
∵$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
又0＜a＜1，
∴函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$在x∈（-1，a）上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)x∈（-1，a）時，函數(shù)f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（a）=1，
即f（a）=log_a$\frac{1-a}{1+a}$=1，
∴$\frac{1-a}{1+a}$=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜a＜1，
∴a=-1+$\sqrt{2}$，
∴a+b=-1+$\sqrt{2}$+1=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．