Question

6．已知AB是圓O的直徑，點C在圓O上（異于點A，B），連接BC并延長至點D，使得BC=CD，連接DA交圓O于點E，過點C作圓O的切線交AD于點F．
（Ⅰ）若∠DBA=60°，求證：點E為AD的中點；
（Ⅱ）若CF=$\frac{1}{2}$R，其中R為圓C的半徑，求∠DBA．

Answer 1

分析 （1）先證明出△ABD為等邊三角形，再連BE，根據(jù)三線合一定理證明出點E為AD的中點；
（2）連CO，運用中位線定理證明出BE∥CF，繼而證出BE=R，最后求出∠DAB．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵AB為圓O的直徑，
∴AC⊥BD，而BC=CD．
∴AB=AD，而∠DBA=60°，
∴△ABD為等邊三角形，連BE，由AB為圓的直徑，
∴AD⊥BE，∴E為AD中點．
（Ⅱ）連CO，易知CO∥AD，
∵CF為圓O的切線，∴CF⊥CO，
∴CF⊥AD，又BE⊥AD，
∴BE∥CF，且CF=$\frac{1}{2}$BE，由CF=$\frac{1}{2}R$知BE=R，
∴∠DAB=30°．

點評 本題考查了圓的切線，等邊三角形的性質(zhì)，中位線定理等內(nèi)容，注意適當?shù)刈鞒鲚o助線，屬于中檔題．