Question

1．如果一個正方體的體積在數(shù)值上等于V，表面積在數(shù)值上等于S，且V-S-m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍是（　�。�

• A． （-∞，-16]
• B． （-∞，-32]
• C． [-32，-16]
• D． 以上答案都不對

Answer 1

分析 設(shè)正方體的棱長為a，a＞0，則體積V=a³，表面積S=6a²，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可．．

解答 解：設(shè)正方體的棱長為a，a＞0，
則體積V=a³，表面積S=6a²，
則V-S-m≥0恒成立等價為a³-6a²-m≥0恒成立，
即m≤a³-6a²在a＞0上恒成立，
設(shè)f（a）=a³-6a²，
則f′（a）=3a²-12a=3a（a-4），
由f′（a）＞0得a＞4或a＜0（舍），此時函數(shù)遞增，
由f′（a）＜0得0＜a＜4，此時函數(shù)遞減，
即當(dāng)a=4時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值f（4）=4³-6×4²=64-96=-32，
則m≤-32，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立的求解，設(shè)出棱長，求出對應(yīng)的體積和表面積，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．