Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=0，S₅=10，數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{_{n}}{n}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，f（n）=$\frac{（{S}_{n}+2）（2-{T}_{n}）}{n+2}$，試問f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；運(yùn)用等比數(shù)列的定義，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）運(yùn)用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得T_n，求得f（n）的表達(dá)式，作差f（n+1）-f（n），化簡整理，可得f（n）的單調(diào)性，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由S₅=10，得5a₃=10，即a₃=2，
又a₂=0，所以公差d=2，
則a_n=2n-4．
由$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{_{n}}{n}$知，
{$\frac{_{n}}{n}$}是等比數(shù)列，
則$\frac{_{n}}{n}$=$\frac{_{1}}{1}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
則$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減，化簡，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
求得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
由S_n=$\frac{n（-2+2n-4）}{2}$=n²-3n，
所以f（n）=$\frac{（{S}_{n}+2）（2-{T}_{n}）}{n+2}$=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{{2}^{n}}$，
則f（n+1）-f（n）=$\frac{（n+1）^{2}-3（n+1）+2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}-3n+2}{{2}^{n}}$，
=$\frac{（n-1）（4-n）}{{2}^{n+1}}$，
∴f（1）=f（2）＜f（3）＜f（4）=f（5），
當(dāng)n≥5時(shí)，f（n+1）-f（n）＜0，又f（4）=f（5）=$\frac{3}{8}$，
∴f（n）存在最大值，最大值為$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，以及數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．