【題目】已知函數(shù)（其中），，已知和在處有相同的切線．

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

【答案】（1）；（2）最大值，最小值為；（3）一個(gè)，理由見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)和在處有相同的切線．可得及，聯(lián)立解得．

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后可得極值，再求出區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值即可得出所求的最值．

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）（其中），，

．

，．

和在處有相同的切線．

，解得．

，

（2），．

可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，．

又．

∴時(shí)，函數(shù)取得最大值，．

綜上可得：函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為：．

（3）函數(shù)．

．

當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)；

，，

而，

故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，

綜上，有一個(gè)零點(diǎn).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)M軌跡C的方程；

（2）設(shè)N（0，2），過點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個(gè)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對(duì)稱軸的平行線（或與對(duì)稱軸重合），交拋物線于一點(diǎn)，稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡(jiǎn)稱阿氏三角形）.

現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)弦的阿氏三角形是.

（1）指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求的面積（用，，表示）；

（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進(jìn)行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關(guān)系，并求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，過的直線與垂直，并且與線段的垂直平分線相交于點(diǎn) .

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程;

（2）設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為(與不重合)，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件；

（3）若對(duì)任意恒成立，證明：數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，若存在，使，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的離心率，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸時(shí)，有.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線： 上兩點(diǎn)， 關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.

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