【題目】過拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對稱軸的平行線(或與對稱軸重合),交拋物線于一點(diǎn),稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形(簡稱阿氏三角形).
現(xiàn)有拋物線:,直線:(其中,,是常數(shù),且),直線交拋物線于,兩點(diǎn),設(shè)弦的阿氏三角形是.
(1)指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)求的面積(用,,表示);
(3)稱的阿氏為一階的;、的阿氏、為二階的;、、、的阿氏三角形為三階的;……,由此進(jìn)行下去,記所有的階阿氏三角形的面積之和為,探索與之間的關(guān)系,并求.
【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo):,準(zhǔn)線方程:;(2);(3),
【解析】
(1)將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)將直線方程代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可求得,根據(jù)可整理得到,代入整理可得結(jié)果;
(3)由(2)知,繼續(xù)求解阿氏三角形面積可知,進(jìn)而分析得到;可知為無窮等比數(shù)列,利用無窮等比數(shù)列前項(xiàng)和的極限的求法可求得結(jié)果.
(1)由得:
拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為:
(2)將代入拋物線方程得:,則
設(shè),
則中點(diǎn),
又,
(3)設(shè)是拋物線上的任意一條弦,由(2)知
設(shè)弦、的阿氏三角形依次為,
上述討論表明,階中的每一個(gè)阿氏三角形都可以生成階中的兩個(gè)阿氏三角形,且后者的面積之和是前者面積的
階中的個(gè)阿氏三角形面積之和與階中的個(gè)阿氏三角形面積之和滿足
是首先為,公比為的無窮等比數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,對農(nóng)副產(chǎn)品進(jìn)行深加工以提高產(chǎn)品附加值,已知某農(nóng)產(chǎn)品成本為每件3元,加工后的試營銷期間,對該產(chǎn)品的價(jià)格與銷售量統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)x(元) | 6 | 6.2 | 6.4 | 6.6 | 6.8 | 7 |
銷量y(萬件) | 80 | 74 | 73 | 70 | 65 | 58 |
數(shù)據(jù)顯示單價(jià)x與對應(yīng)的銷量y滿足線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求銷量y(件)關(guān)于單價(jià)x(元)的線性回歸方程;
(2)根據(jù)銷量y關(guān)于單價(jià)x的線性回歸方程,要使加工后收益P最大,應(yīng)將單價(jià)定為多少元?(產(chǎn)品收益=銷售收入-成本).
參考公式:==,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且.
(1)求的方程;
(2)試問:在軸的正半軸上是否存在一點(diǎn),使得的外心在上?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,請說明理由..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展,“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn)。某運(yùn)營公司為了了解某地區(qū)用戶對其所提供的服務(wù)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶,得到用戶的滿意度評分如下:
用戶編號(hào) | 評分 | 用戶編號(hào) | 評分 | 用戶編號(hào) | 評分 | 用戶編號(hào) | 評分 | |||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | 78 73 81 92 95 85 79 84 63 86 | 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | 88 86 95 76 97 78 88 82 76 89 | 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 | 79 83 72 74 91 66 80 83 74 82 | 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 | 93 78 75 81 84 77 81 76 85 89 |
用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本,且在第一分段里隨機(jī)抽到的評分?jǐn)?shù)據(jù)為92.
(1)請你列出抽到的10個(gè)樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù);
(2)計(jì)算所抽到的10個(gè)樣本的均值和方差;
(3)在(2)條件下,若用戶的滿意度評分在之間,則滿意度等級(jí)為“級(jí)”。試應(yīng)用樣本估計(jì)總體的思想,根據(jù)所抽到的10個(gè)樣本,估計(jì)該地區(qū)滿意度等級(jí)為“級(jí)”的用戶所占的百分比是多少?
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且.
(1)求的方程;
(2)試問:在軸的正半軸上是否存在一點(diǎn),使得的外心在上?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,請說明理由..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,記=λ.當(dāng)∠APC為鈍角時(shí),λ的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中),,已知和在處有相同的切線.
(1)求函數(shù)和的解析式;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市面上有某品牌型和型兩種節(jié)能燈,假定型節(jié)能燈使用壽命都超過5000小時(shí),經(jīng)銷商對型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如下頻率分布直方圖:
某商家因原店面需要重新裝修,需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn),合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營業(yè).經(jīng)了解,型20瓦和型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng),都適合安裝.已知型和型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元,當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí),假定該店面正常營業(yè)一年的照明時(shí)間為3600小時(shí),若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈更換.(用頻率估計(jì)概率)
(1)若該商家新店面全部安裝了型節(jié)能燈,求一年內(nèi)恰好更換了2支燈的概率;
(2)若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi),你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈,請說明理由.
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