Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a_na_n+1=2ⁿ，a₁=1，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，b_n=$\frac{1}{3}$S_2n，求所有的正整數(shù)m，使$\frac{_{n+1}_{n+1}}{_{n}}$為整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過a_na_n+1=2ⁿ與a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹作商可知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，進而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知S_2n=3（2ⁿ-1），進而可知$\frac{_{n+1}_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+2}-1）}{{2}^{n}-1}$，利用換元法令2ⁿ-1=t可知$\frac{_{m+1}_{m+2}}{_{m}}$=8•2^m+2+$\frac{3}{{2}^{m}-1}$為整數(shù)，進而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_na_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，
又∵a₁=1，∴${a}_{2}=\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知S_2n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3（2ⁿ-1），
∴b_n=$\frac{1}{3}$S_2n=2ⁿ-1，
∴$\frac{_{n+1}_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+2}-1）}{{2}^{n}-1}$，
記2ⁿ-1=t，則2ⁿ=t+1，
則$\frac{_{m+1}_{m+2}}{_{m}}$=$\frac{（2t+1）（4t+3）}{t}$
=8t+10+$\frac{3}{t}$
=8•2^m+2+$\frac{3}{{2}^{m}-1}$為整數(shù)，
故只有2^m-1=1或3，即m=1或2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．