Question

（2010•武漢模擬）設(shè)f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+2，x∈[-

π

6

，

π

，4

]，則f（x）的值域?yàn)?!--BA-->

[2，2

3

4

]

．

Answer 1

分析：把函數(shù)f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到余弦函數(shù)的值域，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+2
=

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x+2
=

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+2

1

4

=

1

2

cos（2x-

π

3

）+2

1

4

，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
則f（x）的值域?yàn)閇2，2

3

4

]．
故答案為：[2，2

3

4

]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的定義域和值域，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)是解此類題的關(guān)鍵．