Question

將圓x²+y²=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C．
（Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P₁，P₂，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P₁P₂的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）在曲線C上任意取一點(diǎn)（x，y），再根據(jù)點(diǎn)（x，

y

2

）在圓x²+y²=1上，求出C的方程，化為參數(shù)方程．
（Ⅱ）解方程組求得P₁、P₂的坐標(biāo)，可得線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)．再根據(jù)與l垂直的直線的斜率為

1

2

，用點(diǎn)斜式求得所求的直線的方程，再根據(jù)x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標(biāo)方程．

解答：解：（Ⅰ）在曲線C上任意取一點(diǎn)（x，y），由題意可得點(diǎn)（x，

y

2

）在圓x²+y²=1上，
∴x²+

y2

4

=1，即曲線C的方程為 x²+

y2

4

=1，化為參數(shù)方程為

x=cosθ y=2sinθ

 （0≤θ＜2π，θ為參數(shù)）．
（Ⅱ）由

x2+ y2 4 =1 2x+y-2=0

，可得

x=1 y=0

，

x=0 y=2

，不妨設(shè)P₁（1，0）、P₂（0，2），
則線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），
再根據(jù)與l垂直的直線的斜率為

1

2

，故所求的直線的方程為y-1=

1

2

（x-

1

2

），即x-2y+

3

2

=0．
再根據(jù)x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標(biāo)方程為ρcosα-2ρsinα+

3

2

=0，
即 ρ=

3

4sinα-2cosα

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于中檔題．