Question

3．在平面直角坐標系xoy中，直線l：x=-2交x軸于點A，設p是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP
（1）當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，-1），設H是E 上動點，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標．

Answer 1

分析 （1）由于直線l：x=-2交x軸于點A，所以A（-2，0），由于P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP，可以設點P，由于滿足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相關點法可以求出動點M的軌跡方程；
（2）由題意及點M的軌跡E的方程為y²=4（x+1），且已知T（1，-1），又H是E 上動點，點O及點T都為定點，利用圖形即可求出．

解答 解：（1）如圖所示，
連接OM，則|PM|=|OM|，
∵∠MPO=∠AOP，
∴動點M滿足MP⊥l或M在x的負半軸上，
設M（x，y）
①當MP⊥l時，|MP|=|x+2|，
|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|x+2|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得y²=4x+4  （x≥-1）
②當M在x的負半軸上時，y=0（x≤-1），
綜上所述，點M的軌跡E的方程為y²=4x+4（x≥-1）或y=0（x＜-1）．
（2）由題意畫出圖形如下：
∵由（1）知道動點M 的軌跡方程為：y²=4（x+1）．
是以（-1，0）為頂點，以O（0，0）為焦點，以x=-2為準線的拋物線，
由H引直線HB垂直準線x=-2與B點，則
利用拋物線的定義可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價于求折線|HB|+|HT|的最小值，
由圖可知當由點T直接向準線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故HO|+|HT|的最小值為3，且此時點H的坐標為$（{-\frac{3}{4}，-1}）$．

點評 此題重點考查了利用相關點法求動點的軌跡方程，還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時等價轉化的思想，屬于中檔題．