Question

3．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=2截y軸所得線段與截直線y=2x+b所得線段的長(zhǎng)度相等，則b=（　�。�

• A． $-\sqrt{6}$
• B． ±$\sqrt{6}$
• C． $-\sqrt{5}$
• D． ±$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 解法一：由題意可得圓C截直線y=2x+b所得線段的長(zhǎng)為2，圓心C（1，2）到直線y=2x+b的距離為1，即$\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，由此求得b的值．
解法二：由題意可得圓心（1，2）到y(tǒng)軸的距離等于圓心（1，2）到直線y=2x+b的距離，即 $\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，由此求得b的值．

解答 解：解法一：把x=0，代入圓C：（x-1）²+（y-2）²=2，求得y=1，或 y=3，
可得圓截y軸所得線段長(zhǎng)為2，
故圓C（x-1）²+（y-2）²=2截直線y=2x+b所得線段的長(zhǎng)為2．
故圓心C（1，2）到直線y=2x+b的距離為1，即$\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，∴b=±$\sqrt{5}$．
故選：D．
解法二：根據(jù)圓C：（x-1）²+（y-2）²=2截y軸所得線段與截直線y=2x+b所得線段的長(zhǎng)度相等，
可得圓心（1，2）到y(tǒng)軸的距離等于圓心（1，2）到直線y=2x+b的距離．
而圓心（1，2）到y(tǒng)軸的距離等于為1，故圓心（1，2）到直線y=2x+b的距離也等于1，
即 $\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，∴b=±$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．