Question

12．已知A，B（不與原點(diǎn)O重合）分別在圓C₁：（x-2）²+y²=4與圓C₂：（x-1）²+y²=1上，且OA⊥OB．
（1）若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)A的極角為$\frac{π}{3}$時，求A，B的極坐標(biāo)；
（2）求|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓C₁極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，當(dāng)A的極角為$\frac{π}{3}$時，求出A點(diǎn)極坐標(biāo)為A（2，$\frac{π}{2}$），從而得到A點(diǎn)直角坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），設(shè)B直角坐標(biāo)為（x，y），由OA⊥OB，由求出B點(diǎn)直角坐標(biāo)，從而能求出B點(diǎn)極坐標(biāo)．
（2）當(dāng)過C₁作y軸平行線，交圓C₁于A，過C₂作y軸平行線，交C₂于B，A、B位于x軸兩側(cè)，此時|OA|•|OB|取最大值，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵A，B（不與原點(diǎn)O重合）分別在圓C₁：（x-2）²+y²=4與圓C₂：（x-1）²+y²=1上，
圓C₁：（x-2）²+y²=4即x²+y²-4x=0，
∴圓C₁極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，
∴當(dāng)A的極角為$\frac{π}{3}$時，$ρ=4cos\frac{π}{3}$=2，∴A點(diǎn)極坐標(biāo)為A（2，$\frac{π}{2}$）．
∵A點(diǎn)極坐標(biāo)為A（2，$\frac{π}{2}$），∴A點(diǎn)直角坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），設(shè)B直角坐標(biāo)為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+\sqrt{3}y=0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B點(diǎn)直角坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴B點(diǎn)極坐標(biāo)為B（$\sqrt{3}$，$\frac{11π}{6}$）．
（2）如圖，圓C₁：（x-2）²+y²=4的圓心C₁（2，0），半徑r₁=2，
圓C₂：（x-1）²+y²=1的圓心C₂（1，0），半徑r₂=1，且OA⊥OB，
∴當(dāng)過C₁作y軸平行線，交圓C₁于A，過C₂作y軸平行線，交C₂于B，A、B位于x軸兩側(cè)，
此時|OA|•|OB|取最大值，|OA|=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，|OB|=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴|OA|•|OB|的最大值為：2$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=4．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，考查兩線段積的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的靈活運(yùn)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．