Question

3．己知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為萬，點（$\frac{5π}{24}$，0）為它的圖象的一個對稱中心．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊，若f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=3，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及周期公式可求ω，由$（\frac{5π}{24}，0）$為f（x）的圖象的對稱中心，且0＜φ＜$\frac{π}{2}$可求φ，可得函數(shù)解析式，$令2kπ-π≤2x+\frac{π}{12}≤2kπ$，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（Ⅱ）由f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$結(jié)合A的范圍可求得A的值，由余弦定理可求得：a²=（b+c）²-3bc，從而有${（b+c）^2}=9+3bc≤9+3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期T=π，
∴ω=2，
∵$（\frac{5π}{24}，0）$為f（x）的圖象的對稱中心，
$\begin{array}{l}∴2×\frac{5π}{24}+φ=kπ+\frac{π}{2}\;\;且0＜φ＜\frac{π}{2}\\∴φ=\frac{π}{12}\end{array}$
∴$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{12}）$，…（4分）
∴$令2kπ-π≤2x+\frac{π}{12}≤2kπ$，可解得：$kπ-\frac{13π}{24}≤x≤kπ-\frac{π}{24}$，k∈Z．
故$f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為：[{kπ-\frac{13π}{24}，kπ-\frac{π}{24}}]k∈Z$．…（6分）
（Ⅱ）∵$f（-\frac{A}{2}）=2cos（A-\frac{π}{12}）=\sqrt{2}∴cos（A-\frac{π}{12}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵$-\frac{π}{12}＜A-\frac{π}{12}＜\frac{11π}{12}\;\;\;\;∴A-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}∴A=\frac{π}{3}$，…（9分）
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
∴${（b+c）^2}=9+3bc≤9+3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，
∴b+c≤6，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取等號．
故b+c的最大值為6…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．