Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；

（2）若成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數(shù)在上有唯一極值點；

當時，函數(shù)在上無極值點；

當時，函數(shù)在上有兩個極值點；

（Ⅱ）的取值范圍是.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求，令

通過對的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識，由導數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（1）的結(jié)果這一特殊性，通過對參數(shù)的討論確定的取值范圍.

試題解析：函數(shù)的定義域為

令，

（1）當時， ， 在上恒成立

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；

（2）當時，

①當時， ，

所以， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；

②當時，

設(shè)方程的兩根為

因為

所以，

由可得：

所以，當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

因此函數(shù)有兩個極值點．

（3）當時，

由可得：

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

因此函數(shù)有一個極值點．

綜上：

當時，函數(shù)在上有唯一極值點；

當時，函數(shù)在上無極值點；

當時，函數(shù)在上有兩個極值點；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因為

所以， 時， ，符合題意；

（2）當時，由，得

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，所以， 時， ，符合題意；

（3）當時，由，可得

所以時，函數(shù)單調(diào)遞減；

又

所以，當時， 不符合題意；

（4）當時，設(shè)

因為時，

所以在上單調(diào)遞增，

因此當時，

即：

可得：

當時，

此時， 不合題意.

綜上所述， 的取值范圍是