Question

17．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，滿(mǎn)足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}$$|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，則|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 可設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根據(jù)已知條件容易判斷出△AOB為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，而C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，延長(zhǎng)OB到D，使|OB|=|BD|，這樣即可得到$2\overrightarrow=\overrightarrow{OD}$．而$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，連接D和圓心E，設(shè)C點(diǎn)是與圓的交點(diǎn)，從而|CD|便是$|2\overrightarrow-\overrightarrow{c}|$的最小值，而由余弦定理可求出|DE|，而圓半徑為1，從而能得出|CD|的值．

解答 解：由已知條件知cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{3}$；
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=0$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）⊥（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$；
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{CB}$；
∴C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，如下圖所示：
延長(zhǎng)OB到D，使|OB|=|BD|，連接CD；
則$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow-\overrightarrow{c}$；
設(shè)圓心為E，連接D點(diǎn)和圓心，設(shè)與圓交點(diǎn)為C，則|CD|便是|2$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|的最小值；
由上面知△AOB為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2；
∴|BE|=1，|BD|=2，∠EBD=120°；
∴在△BED中由余弦定理得|ED|=$\sqrt{1+4-4×（-\frac{1}{2}）}=\sqrt{7}$；
∴$|2\overrightarrow-\overrightarrow{c}|$的最小值為$\sqrt{7}-1$．
故答案為：$\sqrt{7}-1$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的計(jì)算公式，向量夾角的范圍，兩向量垂直的充要條件，直徑所對(duì)圓周角為直角，以及余弦定理，圓外一點(diǎn)到圓的最近距離．