Question

12．如圖，已知AB是圓O的直徑，AB=2，點C在直徑AB的延長線上，BC=1，點P是圓O上半圓上的動點，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點D與圓心分別在PC的兩側(cè)，記∠POB=x，將△OPC和△PCD的面積之和表示成x的函數(shù)f（x），則y=f（x）取最大值時x的值為（　�。�

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． π

Answer 1

分析 由三角形面積公式可得S_△OPC=sinx，由余弦定理可得PC²=1²+2²-2•1•2•cosx=5-4cosx，從而求得S_△PCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosx），再利用三角恒等變換求最大值時的x的值．

解答 解：S_△OPC=$\frac{1}{2}$OP•OC•sinx=sinx，
PC²=1²+2²-2•1•2•cosx=5-4cosx，
S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC²•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosx），
故f（x）=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosx），
f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$
=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
故當(dāng)x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{6}$時，有最大值；
故選A．

點評 本題考查了三角形面積公式的應(yīng)用及解三角形的應(yīng)用，同時考查了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．